Асимптота - реферат

Столичный ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год

2

Содержание

Введение 3

2. Нахождение асимптоты 4

2.1 Геометрический смысл асимптоты 5

2.2 Общий способ нахождения асимптоты 6

3. Виды 8

3.1 Горизонтальная асимптота 8

3.2 Вертикальная асимптота 9

3.3 Наклонная асимптота Асимптота - реферат 10

Использованная литература 12

3

Введение

Асимптота, так именуемая ровная либо кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние меж ними делается нескончаемо малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при исследовании параметров многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. полосы Асимптота - реферат, циссоиды и др.).

4

2. Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех

x <а). Если есть такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ®+¥ (соответственно при х ®-¥), то ровная

y = kx + l

именуется асимптотой графика функции f (x) при x®+¥ (соответственно Асимптота - реферат при х ®-¥).

Существование асимптоты графика функции значит, что при х ® + ¥

(либо х ®-¥) функция ведёт себя «почти как линейная функция», другими словами отличается от линейной функции на нескончаемо малую.

x - 3x - 2

Найдём, к примеру, асимптоту графика функции y = x +1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления Асимптота - реферат многочленов,

2 2

получим y = x - 4 + x + 1 Потому что x + 1 = 0 при х ®±¥, то ровная y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,

так и при х ®-¥.

5

2.1 Геометрический смысл асимптоты

Разглядим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на Асимптота - реферат ось Ох, АВ – асимптота,

q - угол меж асимптотой и положительным направлением оси Ох, q¹ ,

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка скрещения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).

(рис.1)

Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM - QM = f (x) – (kx +l Асимптота - реферат),

MP = MQ cos q. Таким макаром, MP отличается от MQ только на не равный нулю множитель cos q, потому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ®+¥ (соответственно при х ®-¥) эквивалентны, другими словами lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и напротив. х ®+¥

х ®+¥

Отсюда следует, что Асимптота - реферат асимптота может быть определена как ровная, расстояние до которой от графика функции, другими словами отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ®+¥ либо, соответственно, х ®-¥).

6

2.2 Общий способ отыскания асимптоты

Укажем сейчас общий способ отыскания асимптоты Асимптота - реферат, другими словами метод определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости только случай х ®+¥ (при х ®-¥ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ®+¥. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства Асимптота - реферат f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к лимиту при х ®+¥. Тогда

lim = k.

х ®+¥

Используя отысканное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

х ® + ¥

Справедливо и оборотное утверждение: если есть такие числа k и l, что производится условие Асимптота - реферат l = lim (f (x) – kx), то ровная y = kx + l является

х ®+¥

асимптотой графика функции f (x). По правде, из l = lim (f (x) – kx) имеем

х ®+¥

lim [f (x) - (kx + l)] = 0,

х ®+¥

другими словами ровная y = kx + l вправду удовлетворяет определению асимптоты, по другому говоря, производится Асимптота - реферат условие f (x) = kx + l + 0. Таким макаром, формулы lim = k. и l = lim (f (x) – kx)

х ®+¥ х ®+¥

сводят задачку отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы проявили, что если существует

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то Асимптота - реферат k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) – kx)

х ®+¥ х ®+¥

Как следует, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим методом:

7

другими словами мы, как Асимптота - реферат и следовало ждать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х ®+¥, так и при х ® - ¥.

В виде y = kx + l может быть записано уравнение хоть какой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

8

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

Пусть $lim f (x Асимптота - реферат) = b. Тогда молвят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции в большинстве случаев имеет таковой вид (при x® +¥) (рис.2)


(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и таковой вид (рис.3)


(рис.3)

9

3.2 Вертикальная асимптота


(рис.4)

Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ±¥ Асимптота - реферат;. Тогда молвят, что ровная x = a является

х ®¥

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт приблизительно так (рис.4), хотя, естественно, могут быть различные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ либо -¥.

В большинстве случаев вертикальная асимптота возникает тогда Асимптота - реферат, когда f (x) имеет вид

.

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корешки уравнения

10

3.3 Наклонная асимптота


(рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте значит, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ®±¥

lim Асимптота - реферат [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ®¥

Если данная величина стремится к нулю, то тем паче стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем

и потому что последний предел равен нулю, то

Зная а, можно отыскать и b из начального соотношения

Тем характеристики асимптоты на сто процентов определяются.

Пример

другими словами Асимптота - реферат асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.

11

Аналогично можно показать, что при x ®- ¥ асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции смотрится так (рис.6)


(рис.6)

12

Использованная литература

1. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

3. Лекции по арифметике



ast-ahe-trostnik-na-vetru-natalya-vasileva-natalya-nekrasova.html
astafev-v-p-car-riba-astafeva-sochinenie.html
astafev-viktor-petrovich-doklad.html