Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента

Пусть - положительная функция и - какая-нибудь (вообщем комплекснозначная) функция, определенные для довольно огромных значений . Запись

при

значит, что найдутся такие числа и M, что при имеем .

Схожая запись употребляется и в других подобных случаях. К примеру, если - положительная функция и - какая-нибудь функция, определенные для довольно малых положительных значений , то Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента запись

при

значит, что найдутся такие числа и , что на .

Вспомогательная лемма

Если два раза безпрерывно дифференцируема на , то для функции

имеет место асимптотическое представление

при .

Докажем эту лемму. Заменяя на , получим:

. (26)

Разглядим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя на , найдем:

,

но, заменив на , получим:

.

Если положительна, убывает и стремиться Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента к нулю при , то и , а как следует, и есть при , потому

при ,

откуда

при .

Итак, получаем асимптотическое представление:

при . (27)

Разглядим сейчас интеграл, фигурирующий во 2-м слагаемом правой части формулы (20). Имеем:

,

.

Разумеется, два раза безпрерывно дифференцируема на , но есть и , потому становится безпрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает:

,

где 1-ое Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента слагаемое правой части есть при , а интеграл во 2-м слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом

,

который сходится, потому что

при ;

как следует, 2-ое слагаемое есть тоже при .

Итак, имеем:

при . (28)

Из (26), (27), (28) получаем разыскиваемое асимптотическое представление:

при . (29)

Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:

при . (29`)

Формулы (29) и (29`) верны и для Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента комплекснозначных функций .

Вывод асимптотической формулы для Jn(x)

Заменяя на , получим:

(беря во внимание, что есть четная функция от , а есть нечетная функция от ). Подстановка дает:

,

где есть, разумеется, полином n-й степени (полином Чебышева), потому что из формулы Муавра видно, что есть полином n-й степени относительно . Но

и, заменяя Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента в первом из этих интегралов на , получим:

Потому что и на имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:

;

но ; , как следует,

.

Итак, имеем разыскиваемое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для огромных значений аргумента:

при . (30)

Эта формула Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента указывает, что с точностью до слагаемого порядка является затухающей гармоникой с волной неизменной длины и амплитудой, убывающей назад пропорционально квадратному корню из абсциссы.

А именно,

при ; (30`)

при . (30``)

Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.

Разглядим несколько примеров решения уравнения Бесселя.

1. Отыскать решение уравнения Бесселя при

,

удовлетворяющее исходным условиям Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента при , и .

Решение.

На основании формулы (5`) находим одно личное решение:

.

2. Отыскать одно из решений уравнения:

, .

Решение.

Создадим подмену

.

При получим:

.

При будем находить решение в виде обобщенного степенного ряда:

.

Уравнение на имеет вид ;

, , , , потому

,

, .

Набросок 1 – График функции y=J0(x)

Набросок 2 – График функции y=J1(x)


Перечень литературы

1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.

2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и особые функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для вузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.


astahov-novoe-detskoe-vedomstvo-ne-dolzhno-ogranichitsya-bedami-sirot-vsem-mirom-mi-mozhem-otstoyat-svoi-duhovnie-cennosti.html
astahov-vozvrashenie-detej-v-semyu-galini-cimbalovoj-vozmozhno-press-reliz-mezhregionalnogo-obshestvennogo-dvizheniya.html
astanatvkz-09092013-20-aktivov-edinogo-pensionnogo-fonda-budut-investirovani-v-zarubezhnie-cennie-bumagi.html